Cómo aprenderlas, cómo enseñarlas
Este manual se redactó con un doble propósito. El primero, y más importante, proveer a los alumnos de la licenciatura (ahora grado) en Matemáticas de un buen material de estudio sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo pruebas rigurosas y detalladas de los teoremas, ejemplos variados y suficientes ejercicios. Por otra parte, pensando en un potencial docente, acaso inexperto, que quisiera emplearlo como libro de texto, se propone una gradación de los contenidos acorde a su relevancia, distinguiendo entre los a nuestro parecer imprescindibles y los que podrían omitirse sin menoscabo para la buena preparación de los estudiantes. A diferencia de otros libros de perfil similar, el presente incluye una amplia batería de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a las ciencias aplicadas, de la química a la ecología, de la astronomía a la ingeniería, que se presentan sin presuponer en los lectores más conocimientos de estas disciplinas que los elementales.
Introducción
A. Teoría cuantitativa de las Ecuaciones Diferenciales
I. Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias
1. Primeras definiciones
2. Soluciones de una ecuación diferencial
Ejercicios
II. Ecuaciones diferenciales de primer orden
3. Ecuaciones lineales
4. Una aplicación a la Arqueología: datación por el método del carbono-14
5. Una aplicación a la Medicina Legal: determinar la hora de un fallecimiento
6. Ecuaciones reducibles a lineales. Ecuaciones de Bernoulli y Riccati
7. Una aplicación a la Biología: crecimiento de poblaciones
8. Ecuaciones en variables separadas y homogéneas
9. Una aplicación al Cálculo de Variaciones: la braquistócrona
10. Ecuaciones exactas. Factores integrantes
11. Una aplicación a la Astronomía: diseño de radiotelescopios
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
III. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales. Métodos de resolución
12. Un teorema de existencia y unicidad de soluciones
13. Soluciones de un sistema lineal homogéneo
14. Soluciones de un sistema lineal no homogéneo
15. Soluciones de la ecuación lineal homogénea
16. Soluciones de la ecuación lineal no homogénea
17. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
18. Cálculo de la exponencial de una matriz. La forma canónica de Jordan
19. Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes
20. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
21. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
22. Sistemas lineales con coeficientes constantes de orden superior
23. Una aplicación a la Mecánica Celeste: las leyes de Kepler
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
IV. Teoría fundamental
24.Teoremas de existencia y unicidad de soluciones
25. Prolongación de soluciones
26. Continuidad y diferenciabilidad respecto condiciones iniciales y parámetros
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
B. Teoría cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales
V. Introducción a los sistemas dinámicos continuos
27. El flujo de un sistema de ecuaciones diferenciales autónomo
28. Sistemas dinámicos
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
VI. Teoría cualitativa de los sistemas diferenciales lineales
29. El caso bidimensional
30. Conjugación de sistemas lineales y estabilidad
31. Clasificación topológica de los sistemas lineales hiperbólicos
32. Una aplicación a las teorías matemáticas de la guerra: la carrera de armamentos que precedió a la Primera Guerra Mundial
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
VII. Teoría cualitativa local
33. Comportamiento asintótico cerca de puntos regulares
34. Comportamiento asintótico cerca de puntos críticos hiperbólicos: el método de linealización de Lyapunov y el teorema de Hartman-Grobman
35. Comportamiento asintótico cerca de puntos críticos no hiperbólicos: El método directo de Lyapunov
36. Comportamiento asintótico cerca de órbitas periódicas planas
37. Una aplicación a la Ingeniería: el regulador centrífugo
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
VIII. Teoría cualitativa global en el plano
38. Estudio cuantitativo del diagrama de fases: isoclinas e integrales primeras
39. Estudio cualitativo del diagrama de fases: el teorema de Poincaré-Bendixson y el criterio de Bendixson-Dulac
40. Una aplicación a la Ecología: las ecuaciones de Volterra-Lotka
Lecturas complementarias y ampliaciones
Ejercicios
Bibliografía
Índice de Materias
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